Unter einem "DNS-Resolver" versteht man einen Nameserver, der auf Anfrage von Clients (Rechnern) die Namen in IP-Adressen auflöst. Einen solchen Nameserver benötigt jeder Rechner, um das Internet nutzen zu können (zumindest wenn man im Browser wie üblich Namen anstelle von IP-Adressen eingeben möchte :-))
Bietet der DNS-Resolver diesen Dienst nicht nur z.B. im lokalen LAN an, sondern gleich öffentlich für alle Internetteilnehmer, so spricht man von einem "offenen DNS-Resolver". Das kann Absicht sein oder auch schlicht ein Versehen. Prinzipiell ist auch erst einmal nichts Schlimmes dabei, wenn man diesen Service öffentlich anbietet, solange der Dienst nur für diesen Zweck genutzt wird.